下一个排列算法详解：思路+推导+步骤，看不懂算我输！

下一个排列

问题描述

这道题是 LeetCode 31题。

“下一个排列”的定义是：给定数字序列的字典序中下一个更大的排列。如果不存在下一个更大的排列，则将数字重新排列成最小的排列（即升序排列）。

我们可以将该问题形式化地描述为：给定若干个数字，将其组合为一个整数。如何将这些数字重新排列，以得到下一个更大的整数。如 123 下一个更大的数为 132。如果没有更大的整数，则输出最小的整数。

以 1,2,3,4,5,6 为例，其排列依次为：

123456
123465
123546
...
654321

可以看到有这样的关系：123456 < 123465 < 123546 < ... < 654321。

算法推导

如何得到这样的排列顺序？这是本文的重点。我们可以这样来分析：

1. 我们希望下一个数比当前数大，这样才满足“下一个排列”的定义。因此只需要将后面的「大数」与前面的「小数」交换，就能得到一个更大的数。比如 123456，将 5 和 6 交换就能得到一个更大的数 123465。
2. 我们还希望下一个数增加的幅度尽可能的小，这样才满足“下一个排列与当前排列紧邻“的要求。为了满足这个要求，我们需要：
   1. 在尽可能靠右的低位进行交换，需要从后向前查找
   2. 将一个 尽可能小的「大数」 与前面的「小数」交换。比如 123465，下一个排列应该把 5 和 4 交换而不是把 6 和 4 交换
   3. 将「大数」换到前面后，需要将「大数」后面的所有数重置为升序，升序排列就是最小的排列。以 123465 为例：首先按照上一步，交换 5 和 4，得到 123564；然后需要将 5 之后的数重置为升序，得到 123546。显然 123546 比 123564 更小，123546 就是 123465 的下一个排列

以上就是求“下一个排列”的分析过程。

算法过程

标准的“下一个排列”算法可以描述为：

1. 从后向前查找第一个相邻升序的元素对 (i,j)，满足 A[i] < A[j]。此时 [j,end) 必然是降序
2. 在 [j,end) 从后向前查找第一个满足 A[i] < A[k] 的 k。A[i]、A[k] 分别就是上文所说的「小数」、「大数」
3. 将 A[i] 与 A[k] 交换
4. 可以断定这时 [j,end) 必然是降序，逆置 [j,end)，使其升序
5. 如果在步骤 1 找不到符合的相邻元素对，说明当前 [begin,end) 为一个降序顺序，则直接跳到步骤 4

该方法支持数据重复，且在 C++ STL 中被采用。

代码

func nextPermutation(nums []int) {
	if len(nums) <= 1 {
		return
	}

	i, j, k := len(nums)-2, len(nums)-1, len(nums)-1

	// find: A[i]<A[j]
	for i >= 0 && nums[i] >= nums[j] {
		i--
		j--
	}

	if i >= 0 { // 不是最后一个排列
		// find: A[i]<A[k]
		for nums[i] >= nums[k] {
			k--
		}
		// swap A[i], A[k]
		nums[i], nums[k] = nums[k], nums[i]
	}

	// reverse A[j:end]
	for i, j := j, len(nums)-1; i < j; i, j = i+1, j-1 {
		nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
	}
}

可视化

以求 12385764 的下一个排列为例：

首先从后向前查找第一个相邻升序的元素对 (i,j)。这里 i=4，j=5，对应的值为 5，7：

然后在 [j,end) 从后向前查找第一个大于 A[i] 的值 A[k]。这里 A[i] 是 5，故 A[k] 是 6：

将 A[i] 与 A[k] 交换。这里交换 5、6：

这时 [j,end) 必然是降序，逆置 [j,end)，使其升序。这里逆置 [7,5,4]：

因此，12385764 的下一个排列就是 12386457。

最后再可视化地对比一下这两个相邻的排列（橙色是蓝色的下一个排列）：